베이 즈 규칙 ( Bayes Rule)

베이 즈 규칙

 진정한 베이지안은 실제로 조건부 확률 을 합동 확률 보다 기본이라고 생각 합니다. 관절 확률 P (A, B)를 참조하지 않고 P (A | B)를 정의하는 것은 쉽습니다. 이 노트를 보려면 조건부 확률 공식 을 재 배열 하여 다음을 얻을 수 있습니다.

P (A | B) P (B) = P (A, B)

그러나 대칭에 의해 우리는 또한 얻을 수 있습니다 :

P (B | A) P (A) = P (A, B)

그것은 다음과 같습니다 :

이것은 베이 즈 규칙 ( Bayes Rule) 이라고 불리는 것 입니다.

새로운 증거 B에 비추어 가설 A 에 대한 우리의 믿음을 갱신하는 관점에서 베이 즈 규칙을 생각하는 것이 일반적 이다. 특히, 우리의 후방 믿음 P ( A | B는 ) 우리 곱하여 이전 의 믿음 P ( 를 의해) 가능도 P ( | A B 해당) B 경우 발생할 A는 사실이다.

 베이 즈 규칙의 힘은 P (A | B)를 계산하려는 많은 상황에서 직접 그렇게하기가 어렵다는 것을 알았지 만 P (B | A)에 대한 직접적인 정보를 가지고있을 수도 있습니다. 베이 즈 규칙은 P ( B | A )의 관점에서 P ( A | B ) 를 계산할 수있게 합니다.

예를 들어, 흉부 클리닉을 방문하는 환자의 암 진단에 관심이 있다고 가정합니다.

하자 A는 "사람은 암이있다"이벤트를 나타냅니다

하자 B는 이벤트를 대표하는 "사람는 흡연"

우리는 이전의 데이터 (임상에 진입 한 환자의 10 %가 암을 가지고 있음이 판명 됨)를 기준으로 이전 사건 P ( A ) = 0.1 의 확률을 알고 있습니다. 우리는 사건 P ( A | B ) 의 확률을 계산하려고합니다 . 이것을 직접 찾아내는 것은 어렵습니다. 그러나 우리는 담배를 피우는 환자의 비율을 고려하여 P ( B )를 알 수 있습니다. P ( B ) = 0.5 라고 가정 하십시오. 우리는 또한 P ( B | A )를 우리의 기록에서 진단받은 사람들 중 흡연자의 비율을 조사함으로써 알 수 있습니다. P ( B | A ) = 0.8 이라고 가정하자 .

이제 Bayes의 규칙을 사용하여 다음을 계산할 수 있습니다.

 P ( A | B ) = (0.8 '0.1) /0.5=0.16

따라서, 사람이 흡연자라는 증거 에 비추어 우리는 사전 확률을 0.1에서 사후 확률 0.16으로 수정합니다. 이것은 의미있는 증가이지만 암에 걸릴 확률은 여전히 ​​낮습니다.

분모 P ( B 식에서)는, 예를 들면, 계산 될 수있는 정규화 상수이다 소외 있다

그러므로 베이 즈 규칙을 다른 방식으로 표현할 수 있습니다.

베이 즈 정리 의 예를 보라.

베이 즈 규칙 예제

 우리는 각각 검은 색과 흰 색 공이 들어있는 두 개의 봉지가 있다고 가정합니다. 1 개의 부대는 까만의 3 배 많은 백색 공을 포함한다. 다른 가방에는 흰색처럼 검은 색 공이 세 배나 많이 들어 있습니다. 우리가이 봉지 중 하나를 무작위로 선택한다고 가정 해보십시오. 이 가방에서는 무작위로 5 개의 볼을 선택하여 각 볼을 선택한 후에 교체합니다. 결과는 우리가 흰 공 4 개와 검은 색 공 1 개를 찾는다는 것입니다. 주로 하얀 공이 든 가방을 사용할 확률은 얼마입니까?

 해결책. A를 무작위 변수 "가방 선택"이라고하면 A = {a1, a2}이고, 여기서 a1은 "대부분 하얀 공이있는 봉"을 나타내고 a2는 "대부분 검은 색 공이있는 봉지"를 나타냅니다. 우리는 가방을 무작위로 선택하기 때문에 P (a1) = P (a2) = 1 / 2라는 것을 알고 있습니다.

B가 "4 개의 흰색 볼과 5 개의 선택에서 선택된 하나의 검은 공"이벤트라고합시다.

그런 다음 P (a1 | B)를 계산해야합니다. 에서 베이 즈 규칙 이 있습니다 :

 

 이제 대부분 흰색 공이있는 가방의 경우 공이 흰색 인 확률은 3/4이고 공이 검은 색이 될 확률은 1/4입니다. 따라서 우리는 이항 정리 (Binomial Theorem)를 사용하여 P (B | a1)를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

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