베이즈 확률  http://hamait.tistory.com/742

확률

확률은 매우 간단합니다. 주사위로 생각해 봅시다.

주사위 1개를 던저 나오는 눈의 수를 생각 할때 , 주사위 던지는 조작을 "시행"이라고 합니다.

이 시행으로 얻어진 결과 중에서 조건에 맞는 결과 집합을 "사상" 이라고 합니다.

만약 홀수가 나오는 사상이라면 시행의 결과가 1,3,5 인 눈의 집합이 됩니다.

결국 공식을 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

확률 P =   문제 삼고 있는 사상이 일어나는 경우의 수 (A) /  일어날 수 있는 모든 경우의 수 (U) 

곱사상

두 사상 A,B 가 있다고 합시다.

- A 는 4 이하의 눈이 나오는 사상 

- B 는 짝수가 나오는 사상 

A 와 B 가 동시에 일어나는 "동시확률" 은 ?

A 는 4/6 

B 는 3/6  

A * B = 1/3     즉 두개의 사상이 함께 일어날 확률은 두 사상을 곱하여 계산합니다. 

조건부 확률

어떤 사상 A 가 일어났다고 하는 조건 아래서 사상 B 가 일어나는 확률을 , A 의 조건 아래서 B 가 일어나는 "조건부 확률" 이라고 합니다.

P(B|A) 라고 합니다. ( A 가 일어난 후에 B가 일어날 확률 ) 

P(B | A)    =  '4 이하의 눈이 나왔을 때 그 눈이 짝수 일 확률' =   2/4 

P(A | B)    = '짝수의 눈이 나왔을때 그 눈이 4이하일 확률' = 2/3

승법정리

P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) 

검증해볼가요?  (위의 주사위 확률을 문제로 삼고 진행해 봅시다) 

A 사상과 B 의 사상이 함께 일어날 확률은?  위 곱사상 편에서 보면  1/3 이었습니다.

P(A) 는 ?  4/6  이 었지요.

P(B|A) 는 ? 2/4 였습니다 ( 위의 조건부 확률에서 확인) 

P(A)와 P(B|A) 를 곱하면 ?   네 1/3 이 됩니다. 

베이즈 정리는 이 승법정리에서 간단히 유도 됩니다. 

베이즈 정리 

위의 승법정리를 토대로 간단히 다음과 같은 식이 얻어집니다.

P(A∣B)=​P(B)​​P(A)P(B∣A)

​ 

위에서 A 나 B 로 하면 먼가 이해하기 힘들거 같아서 

A 를 H 로 바꾸고 (Hypothesis :  '원인' 혹은 '가정' )

B 를 D 로 바꾸어 보겠습니다. ( Data :  '결과' 혹은 '데이터') 

P(H∣D)=​P(D)​​P(H)P(D∣H)

​ 

위의 정리는 이렇게 말하고 있습니다.

P(H | D) :   결과 데이터가 이렇게 이렇게 나왔는데 , 이렇게 결과 나오려면 어떤 원인이 있었던 것일까??

P(D)    :      모든 결과 (어떤 가설에든 포함되는 데이터의 비율로 , 한정 상수라고도 한다) 

P (H)   :    (결과 데이터 D 를 얻기 전에)  원인인 H가 성립될 확률 

P(D | H) : 원인 H 가 일어났을때 데이터 D 가 얻어질 확률 

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분수 계산기

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플랜 B, 즉 백업 계획은 안전장치라기보다는 차라리 올가미에 가깝다.

실제로 백업계획이 있는 사람은

실패를 예상하기에 모든 것을 다 쏟아붓지 못한다.

백업계획이 있다는 건 스스로 실패하겠다고

미리 계획을 짜두는 것과 같다.

그러니 백업 계획을 죽여라,

그렇지 않으면 백업계획이 당신을 죽일 것이다.

- 스탠 비첨, ‘엘리트 마인드’에서

물론 플랜 B가 필요할 때가 있습니다.

그러나 플랜 B는 생각보다 부작용이 큽니다.

백업계획은 우리 자신을 망치는 아주 좋은 방법이 되기도 합니다.

두렵지 않은 목표는 무용지물에 가깝습니다.

배수진을 쳐야 각오도 달라지고 그에 따라 노력과 결과가 달라집니다.

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수행자가

제대로 수련하기 위해서는 

헌신, 열정, 끊임없는 각성, 꾸준한 노력 등 

네 가지 자질이 요구된다. 수행자도 수준에 따라 

약한 수행자, 보통 수행자, 열의에 찬 수행자, 최상의 

수행자, 이 네 가지로 나뉜다. 그리고 수행자의 단계도

네 가지로 나뉜다. 요가를 처음 시작한 초보자, 신체 

내면의 기능을 머리로 이해한 수행자, 지성을 몸의 

모든 부분과 연결시킬 수 있는 수행자, 자신의 몸,

마음, 영혼을 하나로 만든 수행자가 

그것이다. 

- B.K.S 아헹가의《요가 수트라》중에서 - 

* 모든 일에는

수준과 단계가 있습니다.

한 걸음에 최상의 달인이 될 수 없습니다.

고통스런 반복의 계단을 하나하나 어렵게 오르면서 

자라고 무르익게 됩니다. 중요한 것은 '시작'입니다.

첫 단계부터 시작해야 두 번째, 세 번째, 네 번째

단계에 이를 수 있고, 몸과 마음과 영혼이 

하나가 되는 경지도 맛볼 수 있습니다.

시작이 반입니다.

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베이 즈 규칙

 진정한 베이지안은 실제로 조건부 확률 을 합동 확률 보다 기본이라고 생각 합니다. 관절 확률 P (A, B)를 참조하지 않고 P (A | B)를 정의하는 것은 쉽습니다. 이 노트를 보려면 조건부 확률 공식 을 재 배열 하여 다음을 얻을 수 있습니다.

P (A | B) P (B) = P (A, B)

그러나 대칭에 의해 우리는 또한 얻을 수 있습니다 :

P (B | A) P (A) = P (A, B)

그것은 다음과 같습니다 :

이것은 베이 즈 규칙 ( Bayes Rule) 이라고 불리는 것 입니다.

새로운 증거 B에 비추어 가설 A 에 대한 우리의 믿음을 갱신하는 관점에서 베이 즈 규칙을 생각하는 것이 일반적 이다. 특히, 우리의 후방 믿음 P ( A | B는 ) 우리 곱하여 이전 의 믿음 P ( 를 의해) 가능도 P ( | A B 해당) B 경우 발생할 A는 사실이다.

 베이 즈 규칙의 힘은 P (A | B)를 계산하려는 많은 상황에서 직접 그렇게하기가 어렵다는 것을 알았지 만 P (B | A)에 대한 직접적인 정보를 가지고있을 수도 있습니다. 베이 즈 규칙은 P ( B | A )의 관점에서 P ( A | B ) 를 계산할 수있게 합니다.

예를 들어, 흉부 클리닉을 방문하는 환자의 암 진단에 관심이 있다고 가정합니다.

하자 A는 "사람은 암이있다"이벤트를 나타냅니다

하자 B는 이벤트를 대표하는 "사람는 흡연"

우리는 이전의 데이터 (임상에 진입 한 환자의 10 %가 암을 가지고 있음이 판명 됨)를 기준으로 이전 사건 P ( A ) = 0.1 의 확률을 알고 있습니다. 우리는 사건 P ( A | B ) 의 확률을 계산하려고합니다 . 이것을 직접 찾아내는 것은 어렵습니다. 그러나 우리는 담배를 피우는 환자의 비율을 고려하여 P ( B )를 알 수 있습니다. P ( B ) = 0.5 라고 가정 하십시오. 우리는 또한 P ( B | A )를 우리의 기록에서 진단받은 사람들 중 흡연자의 비율을 조사함으로써 알 수 있습니다. P ( B | A ) = 0.8 이라고 가정하자 .

이제 Bayes의 규칙을 사용하여 다음을 계산할 수 있습니다.

 P ( A | B ) = (0.8 '0.1) /0.5=0.16

따라서, 사람이 흡연자라는 증거 에 비추어 우리는 사전 확률을 0.1에서 사후 확률 0.16으로 수정합니다. 이것은 의미있는 증가이지만 암에 걸릴 확률은 여전히 ​​낮습니다.

분모 P ( B 식에서)는, 예를 들면, 계산 될 수있는 정규화 상수이다 소외 있다

그러므로 베이 즈 규칙을 다른 방식으로 표현할 수 있습니다.

베이 즈 정리 의 예를 보라.

베이 즈 규칙 예제

 우리는 각각 검은 색과 흰 색 공이 들어있는 두 개의 봉지가 있다고 가정합니다. 1 개의 부대는 까만의 3 배 많은 백색 공을 포함한다. 다른 가방에는 흰색처럼 검은 색 공이 세 배나 많이 들어 있습니다. 우리가이 봉지 중 하나를 무작위로 선택한다고 가정 해보십시오. 이 가방에서는 무작위로 5 개의 볼을 선택하여 각 볼을 선택한 후에 교체합니다. 결과는 우리가 흰 공 4 개와 검은 색 공 1 개를 찾는다는 것입니다. 주로 하얀 공이 든 가방을 사용할 확률은 얼마입니까?

 해결책. A를 무작위 변수 "가방 선택"이라고하면 A = {a1, a2}이고, 여기서 a1은 "대부분 하얀 공이있는 봉"을 나타내고 a2는 "대부분 검은 색 공이있는 봉지"를 나타냅니다. 우리는 가방을 무작위로 선택하기 때문에 P (a1) = P (a2) = 1 / 2라는 것을 알고 있습니다.

B가 "4 개의 흰색 볼과 5 개의 선택에서 선택된 하나의 검은 공"이벤트라고합시다.

그런 다음 P (a1 | B)를 계산해야합니다. 에서 베이 즈 규칙 이 있습니다 :

 이제 대부분 흰색 공이있는 가방의 경우 공이 흰색 인 확률은 3/4이고 공이 검은 색이 될 확률은 1/4입니다. 따라서 우리는 이항 정리 (Binomial Theorem)를 사용하여 P (B | a1)를 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

비슷하게

금후

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가장 힘든 길이 항상 옳은 길이다.

절대 지름길을 택하지 마라.

지름길은 경력을 망치는 길,

질척질척한 길과 같다.

- 바이런 윈, 블랙스톤 부회장

보통 사람들은 본능적으로 편안한 길을 찾게 됩니다.

그러나 성장과 편안함은 공존할 수 없습니다.

성공한 사람들은 현재의 편안함에 안주하는 대신,

기꺼이 어려움을 택한 사람들입니다.

힘들고 험한 길일수록 나를 성장시키는 거름이 될 수 있습니다.

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